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在一个花园中，有一条长为 100 米的道路，要在道路两旁每隔一定距离种植一棵树，已知两端都要种树，如何确定树的间隔距离，使得种植的树数量最少？

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在一个花园中，有一条长为 100 米的道路，要在道路两旁每隔一定距离种植一棵树，已知两端都要种树，如何确定树的间隔距离，使得种植的树数量最少？

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韦达定理是数学中的一个重要定理，在解决实际问题中有着广泛的应用。在这个问题中，我们可以利用韦达定理来确定树的间隔距离，使得种植的树数量最少。

首先，我们设树的间隔距离为(x)米，则道路一旁种植的树的数量为(\frac{100}{x}+1)（因为两端都要种树）。

根据韦达定理，我们知道一元二次方程(ax^2+bx+c=0)（(a\neq0)）的两根(x_1)和(x_2)有如下关系：(x_1+x_2=-\frac{b}{a})，(x_1x_2=\frac{c}{a})。

在这里，我们可以将种植的树的数量看作是一个关于间隔距离(x)的二次函数，即(f(x)=\frac{100}{x}+1)。

为了使种植的树数量最少，我们需要找到(f(x))的最小值。

对(f(x))求导可得：

(f^\prime(x)=-\frac{100}{x^2})

令(f^\prime(x)=0)，则可得(x=\pm10\sqrt{10})。

由于间隔距离不能为负数，所以我们只考虑(x=10\sqrt{10})。

当(x<10\sqrt{10})时，(f^\prime(x)<0)，即(f(x))单调递减；当(x>10\sqrt{10})时，(f^\prime(x)>0)，即(f(x))单调递增。

因此，当(x=10\sqrt{10})时，(f(x))取得最小值。

所以，树的间隔距离为(10\sqrt{10})米时，种植的树数量最少。

此时，道路一旁种植的树的数量为：

(\frac{100}{10\sqrt{10}}+1=\frac{10}{\sqrt{10}}+1=\frac{10\sqrt{10}}{10}+1=\sqrt{10}+1)

则道路两旁种植的树的总数量为：

((\sqrt{10}+1)\times2=2\sqrt{10}+2)

综上所述，利用韦达定理可以确定树的间隔距离，使得种植的树数量最少，在这个花园中，树的间隔距离为(10\sqrt{10})米时，种植的树数量最少，为(2\sqrt{10}+2)棵。

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在一个工程中，需要铺设一条长为\(500\)米的管道，已知管道两端的高度差为\(20\)米，如何确定管道的倾斜角度，使得管道铺设的成本最低？

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在解决这个问题时，我们仍然可以借助韦达定理来进行分析。

设管道的倾斜角度为(\theta)，则管道的长度(L)可以表示为：

(L=\frac{20}{\sin\theta})

管道铺设的成本主要与管道的长度有关，因此我们要使管道的长度最小，即要使(\frac{1}{L})最大。

根据三角函数的性质，当(\sin\theta=\frac{1}{2})时，(\sin^2\theta)取得最大值(\frac{1}{4})。

将(\sin\theta=\frac{1}{2})代入(L)的表达式中，可得：

(L=\frac{20}{\frac{1}{2}}=40)

所以，当管道的倾斜角度为(30^\circ)时，管道的长度最小，为(40)米，此时管道铺设的成本最低。

接下来，我们可以利用韦达定理来验证一下这个结果。

设管道的长度为(x)，则有：

(x=\frac{20}{\sin\theta})

将其变形为：

(\sin\theta=\frac{20}{x})

根据韦达定理，一元二次方程(ax^2+bx+c=0)（(a\neq0)）的两根(x_1)和(x_2)有如下关系：(x_1+x_2=-\frac{b}{a})，(x_1x_2=\frac{c}{a})。

在这里，我们可以将(\sin\theta)看作是一个关于(x)的二次函数，即(f(x)=\frac{20}{x})。

对(f(x))求导可得：

(f^\prime(x)=-\frac{20}{x^2})

令(f^\prime(x)=0)，则可得(x=\pm2\sqrt{50})。

由于管道的长度不能为负数，所以我们只考虑(x=2\sqrt{50})。

当(x<2\sqrt{50})时，(f^\prime(x)<0)，即(f(x))单调递减；当(x>2\sqrt{50})时，(f^\prime(x)>0)，即(f(x))单调递增。

因此，当(x=2\sqrt{50})时，(f(x))取得最小值。

将(x=2\sqrt{50})代入(\sin\theta=\frac{20}{x})中，可得：

(\sin\theta=\frac{20}{2\sqrt{50}}=\frac{1}{\sqrt{50}}=\frac{\sqrt{2}}{10})

所以，当管道的倾斜角度为(\arcsin\frac{\sqrt{2}}{10}\approx30^\circ)时，管道的长度最小，为(40)米，此时管道铺设的成本最低。

综上所述，利用韦达定理可以确定管道的倾斜角度，使得管道铺设的成本最低，在这个工程中，当管道的倾斜角度为(30^\circ)时，管道的长度最小，为(40)米，管道铺设的成本最低。

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在一个电路中，有一个电阻\(R\)和一个电容\(C\)串联，已知电源电压为\(U\)，如何确定电阻和电容的值，使得电路的响应时间最短？

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要确定电阻(R)和电容(C)的值，使得电路的响应时间最短，我们需要进一步分析韦达定理在电路中的应用。

在串联电路中，电阻和电容的电压分别为(U_R=IR)和(U_C=U-U_R=U-IR)。

电路的响应时间主要与电容的充电和放电过程有关，而电容的充电和放电时间常数分别为(\tau_R=RC)和(\tau_C=RC)。

为了使电路的响应时间最短，我们需要使充电和放电时间常数最小。

根据韦达定理，我们可以得到：

(R+C=-\frac{U}{I})

(RC=\frac{U^2}{I^2})

将第一个式子变形得到：

(C=-\frac{U}{I}-R)

将其代入第二个式子中，得到：

[
\begin{align*}
RC&=\frac{U^2}{I^2}\
R\left(-\frac{U}{I}-R\right)&=\frac{U^2}{I^2}\
-UR-R^2&=\frac{U^2}{I^2}
\end{align*}
]

移项整理可得：

(R^2+UR-\frac{U^2}{I^2}=0)

这是一个关于(R)的一元二次方程，可以利用韦达定理来求解。

设方程的两根为(R_1)和(R_2)，则有：

(R_1+R_2=-U)

(R_1R_2=-\frac{U^2}{I^2})

要使电路的响应时间最短，我们需要使(R_1)和(R_2)的值尽可能接近，即(|R_1-R_2|)的值最小。

根据韦达定理，我们可以得到：

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