四年级奥数题解法大全 - 豆包

小明在做四年级奥数题时遇到了一道难题，题目是：有一个等差数列，首项是 5，公差是 3，求这个等差数列的前 20 项和。你能帮他解决一下吗？

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要解决这个问题，我们可以使用等差数列求和公式来计算。等差数列求和公式为：(S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2})，其中(n)为项数，(a_1)为首项，(a_n)为末项。

首先，我们需要求出这个等差数列的末项(a_{20})。根据等差数列的通项公式(a_n=a_1+(n-1)d)，其中(d)为公差，可得：

[
\begin{align*}
a_{20}&=5+(20-1)\times3\
&=5+19\times3\
&=5+57\
&=62
\end{align*}
]

然后，我们将(n=20)，(a_1=5)，(a_{20}=62)代入求和公式中，可得：

[
\begin{align*}
S_{20}&=\frac{20\times(5+62)}{2}\
&=\frac{20\times67}{2}\
&=670
\end{align*}
]

因此，这个等差数列的前 20 项和为(670)。

在解决这类等差数列问题时，我们需要熟练掌握通项公式和求和公式，并能够灵活运用它们来解决实际问题。

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要推导出求前(n)项和的通项公式，我们可以从等差数列求和公式入手进行分析。

我们知道，等差数列的前(n)项和可以表示为(S_n=a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n)。

我们可以将这个和式进行重新排列，得到：

[
\begin{align*}
S_n&=a_1+(a_1+d)+(a_1+2d)+\cdots+(a_1+(n-1)d)\
&=n\times a_1+(1+2+3+\cdots+(n-1))d
\end{align*}
]

我们可以利用等差数列的求和公式来计算(1+2+3+\cdots+(n-1))的值。

[
\begin{align*}
1+2+3+\cdots+(n-1)&=\frac{(1+n-1)(n-1)}{2}\
&=\frac{n(n-1)}{2}
\end{align*}
]

将其代入上式，得到：

[
\begin{align*}
S_n&=n\times a_1+\frac{n(n-1)}{2}d
\end{align*}
]

因此，求前(n)项和的通项公式为(S_n=na_1+\frac{n(n-1)}{2}d)。

在实际应用中，我们可以根据具体的题目条件，选择合适的公式来求解等差数列的和。

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要求出已知前(n)项和(S_n)、首项(a_1)、公差(d)的等差数列的末项(a_n)，我们可以利用等差数列的通项公式和求和公式来进行推导。

由等差数列的通项公式(a_n=a_1+(n-1)d)，我们可以得到(a_1=a_n-(n-1)d)。

将其代入求和公式(S_n=na_1+\frac{n(n-1)}{2}d)中，得到：

[
\begin{align*}
S_n&=n[a_n-(n-1)d]+\frac{n(n-1)}{2}d\
&=na_n-n(n-1)d+\frac{n(n-1)}{2}d\
&=na_n-\frac{n(n-1)}{2}d
\end{align*}
]

移项可得：

[
\begin{align*}
na_n&=S_n+\frac{n(n-1)}{2}d\
a_n&=\frac{S_n}{n}+\frac{n-1}{2}d
\end{align*}
]

因此，已知等差数列的前(n)项和(S_n)、首项(a_1)、公差(d)，可以通过公式(a_n=\frac{S_n}{n}+\frac{n-1}{2}d)求出这个等差数列的末项(a_n)。

在解决实际问题时，我们可以根据已知条件灵活运用这些公式来求解等差数列的各项参数。

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