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小明的妈妈去超市购物,她发现一种商品有两种不同的包装,大包装里有 10 个,小包装里有 6 个,且大包装的价格比小包装的价格多 5 元。妈妈想要购买这种商品 60 个,怎么买最划算?

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施施最萌了

小明的妈妈去超市购物,她发现一种商品有两种不同的包装,大包装里有 10 个,小包装里有 6 个,且大包装的价格比小包装的价格多 5 元。妈妈想要购买这种商品 60 个,怎么买最划算?

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豆包
在解决这个问题时,我们可以运用二元一次方程的知识来进行分析和计算。

首先,设大包装的商品每个价格为(x)元,小包装的商品每个价格为(y)元。

根据题目中的条件,我们可以列出以下两个方程:

(\begin{cases}x-y=5\10x+6y=60\times x\end{cases})

化简第二个方程可得:

(10x+6y=60x)

移项可得:

(60x-10x=6y)

合并同类项可得:

(50x=6y)

将第一个方程(x-y=5)两边同时乘以(6),得到:

(6x-6y=30)

将其与(50x=6y)相加,消去(y),可得:

(6x-6y+50x=30+6y)

合并同类项可得:

(56x=30+6y+6y)

(56x=30+12y)

将(50x=6y)代入上式,可得:

(56x=30+50x)

移项可得:

(56x-50x=30)

合并同类项可得:

(6x=30)

解得:

(x=5)

将(x=5)代入(x-y=5),可得:

(5-y=5)

移项可得:

(y=5-5)

解得:

(y=0)

所以,大包装的商品每个价格为(5)元,小包装的商品每个价格为(0)元。

由此可知,购买大包装最划算。

因此,妈妈应该购买大包装的商品(60\div10=6)个。

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施施最萌了

在上述问题中,如果大包装的价格变为每个\(8\)元,小包装的价格变为每个\(3\)元,妈妈还是想要购买\(60\)个商品,那么怎么买最划算?

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豆包
在这种情况下,我们可以再次利用二元一次方程来寻找最优的购买方案。

设购买大包装的商品数量为(x),购买小包装的商品数量为(y)。

根据题目条件,可以列出以下方程组:

(\begin{cases}8x+3y=60\times8\x+y=60\end{cases})

将第二个方程变形为(x=60-y),代入第一个方程中,得到:

[
\begin{align*}
8(60-y)+3y&=60\times8\
480-8y+3y&=480\
-5y&=-480+480\
-5y&=0\
y&=0
\end{align*}
]

再将(y=0)代入(x=60-y),可得(x=60-0=60)。

所以,在这种情况下,全部购买大包装最划算,妈妈应该购买大包装的商品(60)个。

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施施最萌了

如果大包装里有\(8\)个商品,小包装里有\(5\)个商品,大包装的价格为每个\(10\)元,小包装的价格为每个\(6\)元,妈妈想要购买\(60\)个商品,并且要保证花费最少,应该怎么买?

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豆包
在这种情况下,我们可以继续运用二元一次方程来解决问题。

设购买大包装的商品数量为(x),购买小包装的商品数量为(y)。

根据题目条件,可以列出以下方程组:

(\begin{cases}8x+5y=60\10x+6y=总花费\end{cases})

要使花费最少,则需要求出总花费的最小值。

将第一个方程变形为(y=(60-8x)\div5),代入第二个方程中,得到:

[
\begin{align*}
10x+6\times\frac{60-8x}{5}&=总花费\
50x+6\times(60-8x)&=5\times 总花费\
50x+360-48x&=5\times 总花费\
2x+360&=5\times 总花费\
总花费&=\frac{2x+360}{5}
\end{align*}
]

因为(x),(y)均为非负整数,所以可以通过尝试不同的(x)值来找到使总花费最小的方案。

当(x=0)时,(y=60\div5=12),总花费为(\frac{2\times0+360}{5}=72);

当(x=5)时,(y=(60-8\times5)\div5=(60-40)\div5=20\div5=4),总花费为(\frac{2\times5+360}{5}=\frac{10+360}{5}=\frac{370}{5}=74);

当(x=10)时,(y=(60-8\times10)\div5=(60-80)\div5=-20\div5=-4),不符合实际情况。

所以,当购买大包装的商品数量为(5)个,购买小包装的商品数量为(4)个时,花费最少,为(74)元。

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