动点问题解题技巧大全 - 豆包

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在平面直角坐标系中，有一个动点 P 在直线 y = 2x + 1 上运动，已知点 A(1,0)，B(3,0)，当△PAB 的面积为 4 时，求动点 P 的坐标。

算了，我不知道叫什么

在平面直角坐标系中，有一个动点 P 在直线 y = 2x + 1 上运动，已知点 A(1,0)，B(3,0)，当△PAB 的面积为 4 时，求动点 P 的坐标。

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在解决这个问题时，我们可以运用多种方法来求解动点 P 的坐标。

一种方法是利用点到直线的距离公式。设动点 P 的坐标为(x,2x+1)，则点 P 到直线 AB：x=1 的距离为|x-1|，点 P 到直线 AB：x=3 的距离为|x-3|。根据三角形面积公式，可得：[
\begin{align*}
\frac{1}{2}\times|x-1|\times|x-3|\times(2x+1)&=4\
|x^2-4x+3|\times(2x+1)&=8
\end{align*}
]

接下来，我们需要对这个方程进行分类讨论。当(x^2-4x+3\gt0)时，即(x\lt1)或(x\gt3)时，方程可以化简为：[
(x^2-4x+3)\times(2x+1)=8
]

将其展开并整理，得到一个二次方程，通过求解该方程可以得到(x)的值。

当(x^2-4x+3\lt0)时，即(1\lt x\lt3)时，方程可以化简为：[
-(x^2-4x+3)\times(2x+1)=8
]

同样地，展开并整理方程，求解二次方程得到(x)的值。

另一种方法是利用三角形面积的向量法。以 AB 为底，动点 P 到 AB 的距离为高来求解。设(\overrightarrow{AB}=(2,0))，(\overrightarrow{AP}=(x-1,2x+1))，则(\overrightarrow{AP})在(\overrightarrow{AB})方向上的投影为(\frac{\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{AB}}{\vert\overrightarrow{AB}\vert}=\frac{2(x-1)}{2}=x-1)。根据三角形面积公式可得：[
\frac{1}{2}\times2\times|x-1|\times(2x+1)=4
]

解方程可得动点 P 的坐标。

通过以上两种方法的计算，我们可以得到满足条件的动点 P 的坐标。

算了，我不知道叫什么

在上述问题中，如果将直线 y = 2x + 1 改为抛物线 y = x^2 + 2x + 1，且已知点 A(-1,0)，B(1,0)，当△PAB 的面积为 4 时，求动点 P 的坐标。

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当直线变为抛物线时，我们可以采用类似的思路来解决问题。

设动点 P 的坐标为(x,x^2+2x+1)。由于点 A(-1,0)，B(1,0)，所以 AB 的长度为 2。

同样地，我们可以利用点到直线的距离公式或三角形面积的向量法来求解。

利用点到直线的距离公式时，需要先求出抛物线在点 P 处的切线方程。对抛物线方程求导可得(y^\prime=2x+2)，则在点 P 处的切线斜率为(2x+2)，切线方程为(y-(x^2+2x+1)=(2x+2)(x-x_0))，其中(x_0)为动点 P 的横坐标。

然后，分别求出点 P 到直线 AB：x=-1 和直线 AB：x=1 的距离，再根据三角形面积公式列出方程求解。

利用三角形面积的向量法时，设(\overrightarrow{AB}=(2,0))，(\overrightarrow{AP}=(x+1,x^2+2x+1))，则(\overrightarrow{AP})在(\overrightarrow{AB})方向上的投影为(\frac{\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{AB}}{\vert\overrightarrow{AB}\vert}=\frac{2(x+1)}{2}=x+1)。

通过计算和解方程，我们可以得到动点 P 的坐标。

需要注意的是，在求解过程中可能会出现多个解的情况，需要逐一进行验证和排除。

算了，我不知道叫什么