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在一个聚会上,有 40 人会唱歌,30 人会跳舞,20 人既会唱歌又会跳舞。那么,有多少人至少会唱歌或跳舞中的一项?

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维他命.

在一个聚会上,有 40 人会唱歌,30 人会跳舞,20 人既会唱歌又会跳舞。那么,有多少人至少会唱歌或跳舞中的一项?

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在解决这个问题时,我们可以运用容斥原理来计算。容斥原理是指,先不考虑重叠的情况,把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来,然后再把计数时重复计算的数目排斥出去,使得计算的结果既无遗漏又无重复。

首先,我们计算出会唱歌的人数和会跳舞的人数之和:人。

但是,这样计算会把既会唱歌又会跳舞的人数多计算了一次,所以我们需要把这部分人数减去,得到至少会唱歌或跳舞中的一项的人数为:人。

我们还可以通过画韦恩图来更直观地理解这个过程。把会唱歌的人和会跳舞的人分别画在两个圆中,那么既会唱歌又会跳舞的人就是两个圆的重叠部分。把两个圆的面积相加,再减去重叠部分的面积,就得到了至少会唱歌或跳舞中的一项的人数。

容斥原理在日常生活中有很多实际应用。比如,在学校中统计参加各种社团的人数时,就可以运用容斥原理来避免重复计算;在统计人口数据时,也可以用容斥原理来准确计算各种特征的人数。

此外,容斥原理还可以帮助我们解决一些更复杂的问题。比如,如果我们知道有一些人会唱歌、跳舞和弹钢琴,并且知道他们各自的人数以及同时会两项或三项的人数,我们就可以用容斥原理来计算出至少会一项技能的人数。

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在一个班级中,有 30 名学生参加了数学竞赛,25 名学生参加了英语竞赛,15 名学生同时参加了这两项竞赛。另外,还有 10 名学生既没有参加数学竞赛也没有参加英语竞赛。那么,这个班级共有多少名学生?

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要解决这个问题,我们可以继续运用容斥原理。

我们先把参加数学竞赛的人数和参加英语竞赛的人数相加:人。

但是,这样计算会把同时参加这两项竞赛的人数多计算一次,所以我们需要把这部分人数减去,得到参加了至少一项竞赛的人数为:人。

然后,我们再加上既没有参加数学竞赛也没有参加英语竞赛的 10 名学生,就得到了班级的总人数为:人。

从这个问题中我们可以看出,容斥原理不仅可以用于计算人数,还可以用于解决一些涉及集合关系的问题。比如,在考虑多个事件或群体的交集和并集时,容斥原理可以帮助我们准确地计算出各种情况的数量。

在实际生活中,我们也经常会遇到类似的问题。比如,在安排活动时,需要考虑参加不同项目的人数以及他们之间的重叠情况;在进行市场调研时,需要了解不同产品或服务的受众群体以及他们的交叉情况。

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如果有 40 个不同的物品,其中 10 个物品有缺陷,5 个物品既昂贵又有缺陷,2 个物品既便宜又没有缺陷。那么,有多少个物品既不昂贵也没有缺陷?

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要解决这个问题,我们可以进一步运用容斥原理。

首先,我们可以计算出有缺陷的物品数量为个。

然后,我们把既昂贵又有缺陷的物品数量个从有缺陷的物品数量中减去,得到只存在缺陷但不昂贵的物品数量为个。

接着,我们把既便宜又没有缺陷的物品数量个从总物品数量中减去,得到除了这个物品之外的其他物品数量为个。

再把只存在缺陷但不昂贵的物品数量个从除了这个物品之外的其他物品数量中减去,得到既不昂贵也没有缺陷的物品数量为个。

通过这个问题,我们可以看到容斥原理在处理更复杂的集合关系和条件时的应用。它可以帮助我们理清不同条件之间的相互关系,准确计算出符合特定条件的物品数量。

在实际生活中,这种分析方法也有很多用途。比如,在评估产品质量时,我们可以考虑不同特征的产品数量;在进行资源分配时,我们可以根据不同的需求和条件来合理安排。

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